2025年AMC10 A/B卷逐题拆解！

一、2025 AMC 10A 卷

代数 (Algebra)

• • Problem 1 —— 行程问题 (Distance/Rate/Time)
  公式：（距离 = 速度 × 时间）
  技术：设变量列方程，令两人距起点距离相等
  关键：Betsy 晚出发 1 小时，设  为 Betsy 出发后的小时数，列方程 
• • Problem 2 —— 混合物比例 (Mixture Problems)
  公式：百分比 × 总量 = 分量
  技术：设未知数（第二盒坚果重量为 ），根据花生百分比列方程
  关键：第一盒花生 30%，第二盒 60%，混合后 40%
• • Problem 4 —— 年龄问题 (Age Problems)
  公式：平均数 = 总和 ÷ 人数
  技术：利用年龄总和守恒列方程
  关键：已知平均年龄变化，反推某人的年龄
• • Problem 5 —— 数列找规律 (Sequences)
  公式：完全平方数位置公式
  技术：观察序列中 1 出现的位置为 
  关键：第  项等于 ，，所以第 2025 项为 45
• • Problem 7 —— 多项式余数定理 (Polynomial Remainder Theorem)
  定理： 除以  的余数为 
  技术：直接代入求值
  关键：将除式转化为  的形式后代入
• • Problem 8 —— 逻辑真假命题 (Logic/Truth Statements)
  公式：命题逻辑真值表
  技术：逐一假设某命题为真/假，检查是否产生矛盾
  关键：四个命题中恰有若干个为真，用排除法确定
• • Problem 9 —— 函数图像过定点 (Graphs of Functions)
  公式：图像过定点  代入后等式恒成立
  技术：将点坐标代入，解关于参数  的方程
  关键：含  的项系数必须为 0
• • Problem 11 —— 等差与等比数列 (Arithmetic and Geometric Sequences)
  公式：；
  技术：联立方程求解
  关键：既是等差又是等比的非平凡数列只有常数列
• • Problem 13 —— 无穷嵌套正方形面积 (Infinite Geometric Series) ⚠️ 核心为代数，非纯几何
  公式：等比数列求和 （）
  技术：将面积问题转化为无穷级数
  关键：每个正方形的面积是前一个的固定比例，阴影面积占比为等比数列之和
• • Problem 18 —— 调和平均数 (Harmonic Mean)
  公式：
  技术：韦达定理（Vieta's formulas）求根的和与积
  关键：乘积
• • Problem 19 —— 数阵递推 (Number Array Recursion)
  公式：二项式系数 、杨辉三角递推
  技术：将每一项表示为初始行的线性组合
  关键：每行首尾为 0 和 1，中间数为上一行相邻两数之和

几何 (Geometry)

• • Problem 3 —— 等腰三角形计数 (Counting Isosceles Triangles)
  公式：三角形不等式（两边之和大于第三边）
  技术：分类讨论——分“两腰相等”和“唯一最长边”
  关键：最长边为 15，枚举底边或腰长的可能取值
• • Problem 6 —— 等边三角形角三等分 (Angle Trisectors)
  定理：三角形内角和 180°、四边形内角和 360°、对顶角相等
  技术：利用正三角形的 3 重旋转对称性
  关键：六边形有 3 大角和 3 小角，设小角为 ，大角为 ，，六边形内角和 
• • Problem 10 —— 半圆与弦 (Semicircle and Chord)
  定理：勾股定理、垂径定理
  技术：从圆心向弦作垂线
  关键：利用半径、弦长和垂径定理求阴影面积
• • Problem 15 —— 矩形中的面积 (Area in a Rectangle)
  公式：矩形面积 = 长 × 宽；三角形面积 = ½ × 底 × 高
  技术：整体面积减去空白区域面积
  关键：利用线段比例确定各小三角形的高
• • Problem 20 —— 圆柱体与切线 (Cylinder and Tangent Line)
  定理：切线垂直于过切点的半径、勾股定理
  技术：建立坐标系，用两点间距离公式
  关键：圆形粮仓的切线问题，求切点间距离
• • Problem 22 —— 圆与三圆外切 (Descartes' Circle Theorem)
  定理：笛卡尔圆定理：四个两两相切的圆，曲率  满足 
  技术：三个已知圆半径 1、2、3，求外切小圆半径 
  关键：代入笛卡尔定理求解
• • Problem 23 —— 三角形角平分线与高 (Angle Bisector and Altitude)
  定理：角平分线定理 、勾股定理
  技术：利用角平分线定理求比例，结合高列方程
  关键：已知三边，角平分线与高交于一点，求相关线段

数论 (Number Theory)

• • Problem 17 —— 同余与余数 (Congruences and Remainders)
  公式：
  技术：中国剩余定理或枚举法
  关键：，，求十位数字
• • Problem 24 —— “Fair”数计数 (Digit Counting)
  公式：排列组合、递归/动态规划（DP）
  技术：按数字长度和“山峰”状态进行 DP
  关键：无重复数字、无 0、且不存在“山峰”模式

组合与概率 (Combinatorics & Probability)

• • Problem 12 —— 密码锁计数 (Passcode Counting)
  公式：乘法原理
  技术：分类讨论——恰好一位偶数、恰好一位质数、无数字 0
  关键：数字 0–9 中偶数为 {0,2,4,6,8}，质数为 {2,3,5,7}
• • Problem 14 —— 圆桌排列概率 (Circular Permutations)
  公式：圆桌排列数 ；概率 = 有利 ÷ 总排列
  技术：将两学生视为一个“块”，两老师视为另一个“块”
  关键：圆桌排列需除以旋转对称性
• • Problem 16 —— 期望值 (Expected Value)
  公式：
  技术：枚举所有分配情况，计算概率
  关键：三枚硬币放入三个罐子，求含最多硬币的罐子中硬币数的期望
• • Problem 21 —— “和-free”集合 (Sum-Free Sets)
  公式：集合论、极值原理
  技术：构造法（证明上界 + 给出构造）
  关键：集合  中不存在  的最大子集大小

二、2025 AMC 10B 卷

代数 (Algebra)

• • Problem 1 —— 比例与估算 (Proportions and Estimation)
  公式：比例 总量单耗
  技术：除法取整（向下取整）
  关键：已知咖啡豆总克数和每杯所需克数，求最大可冲泡杯数
• • Problem 2 —— 平方数末位 (Last Digits of Squares)
  公式：平方数个位只可能是 0, 1, 4, 5, 6, 9
  技术：观察个位数字循环规律（周期 10）
  关键：利用周期性求和
• • Problem 3 —— 帕斯卡三角形变体 (Pascal-like Triangle)
  公式：帕斯卡恒等式 
  技术：将每项表示为二项式系数的线性组合
  关键：求第  行数字之和的数位和
• • Problem 9 —— 不等式组与整数三元组 (System of Inequalities)
  公式：不等式求解、整数计数
  技术：将三维不等式组转化为计数问题
  关键：有序三元组  满足若干线性不等式，求个数
• • Problem 10 —— 取整函数与整除 (Floor Function and Divisibility)
  公式： 的定义
  技术：令表达式为整数 ，解出  的范围
  关键：求所有整数  使表达式为整数，再求和
• • Problem 15 —— 级数求和 (Series Summation)
  公式：裂项相消（Telescoping）
  技术：将通项分解为可相消的形式
  关键：将和式表示为最简分数 ，求 
• • Problem 17 —— 递减数列与平均数 (Decreasing Sequence and Averages)
  公式：平均数 = 总和 ÷ 项数
  技术：设递减序列 ，根据条件列不等式
  关键：求满足条件的最大首项 
• • Problem 18 —— 取整函数求和 (Summation of Floor Functions)
  公式：
  技术：分组求和，利用周期性或配对
  关键：求复杂和式  的个位数字
• • Problem 23 —— 网格填数 (Grid Filling)
  公式：排列组合、容斥原理（Inclusion-Exclusion）
  技术：Horace 横向填数、Vera 纵向填数
  关键：求同一格出现相同数字的次数

几何 (Geometry)

• • Problem 5 —— 三角形与外接圆 (Triangle and Circumcircle)
  定理：圆周角定理：圆周角等于同弧所对圆心角的一半
  技术：先求三角形内角，再转化为圆心角
  关键：已知边长和角度，求圆心角度数
• • Problem 6 —— 坐标几何与面积 (Coordinate Geometry and Area)
  公式：直线方程、面积公式
  技术：直线  分割正方形，反求斜率 
  关键：（最简分数），求 
• • Problem 7 —— 最短路径 (Shortest Path)
  定理：镜像法（Reflection Method）
  技术：将栅栏视为反射面，镜像点将折线路径转化为直线距离
  关键：Frances 通过两扇不同栅栏门到达盒子的总距离相等
• • Problem 12 —— 正多边形与内切圆盘 (Regular Polygons and Incircles)
  公式：正多边形面积公式、内切圆半径公式
  技术：将图形分割为等边三角形
  关键：等边三角形、菱形、正六边形的内切圆盘面积之比
• • Problem 13 —— 直角三角形线段比例 (Right Triangle)
  定理：直角三角形斜边上的高定理、中线定理（Apollonius's Theorem）
  技术：设边长，用代数方法求比例
  关键：斜边上的高被最短边上的中线分割，求两段比例
• • Problem 16 —— 圆与扇形涂色 (Circle Sector Coloring)
  公式：排列组合计数、染色问题
  技术：用 3 种颜色涂  个扇形，相邻不同色
  关键：利用递推关系或色多项式计数
• • Problem 19 —— 棱台容器注水 (Frustum-like Container Filling)
  公式：棱台体积 
  技术：注水问题转化为体积随时间的变化率
  关键：方形底、方形顶、梯形侧面，注水至中线后再填满所需时间
• • Problem 20 —— 正方形内切半圆与小圆 (Semicircles and Small Circle)
  定理：勾股定理、圆与圆相切条件（圆心距 = 半径和或差）
  技术：建立坐标系，设小圆半径 ，利用相切条件列方程
  关键：四个全等半圆内切于正方形，中心小圆与四半圆相切，求小圆直径
• • Problem 25 —— 正方形内的反射路径 (Reflection Path)
  定理：反射原理（Reflection Principle）、展开法（Unfolding Method）
  技术：将正方形反射展开为平面网格，路径转化为直线
  关键：从某点出发在正方形内反射，求终止顶点

数论 (Number Theory)

• • Problem 4 —— 进制转换 (Base Conversion)
  公式： 进制下的两位数 
  技术：列方程 
  关键：两位数在七进制下的值等于其在九进制下的值，求该十进制数
• • Problem 22 —— 整除与条件概率 (Divisibility and Conditional Probability)
  公式：整除判定法则、条件概率 
  技术：枚举所有满足各位数字和条件的七位数，统计能被某数整除的个数
  关键：已知各位数字和，求被某数整除的概率

组合与概率 (Combinatorics & Probability)

• • Problem 11 —— 随机分配概率 (Random Assignment Probability)
  公式：概率 = 有利分配数 ÷ 总分配数
  技术：将两次随机分配看作独立事件，用乘法原理计数
  关键： 个学生随机分配给若干导师，两天中恰好  个学生遇到同一位导师
• • Problem 14 —— 排列与分组概率 (Permutations and Grouping)
  公式：排列数 、组合数 
  技术：将 9 名运动员按身高排序，再分组
  关键：各组最高者恰好为全体前三高的概率
• • Problem 21 —— 网格染色（含旋转/反射等价）(Grid Coloring)
  定理：Burnside 引理（Burnside's Lemma）
  技术：考虑二面体群  的 8 个对称操作
  关键： 网格用 3 色染色，相邻格颜色不同，旋转/反射视为相同
• • Problem 24 —— 马尔可夫链（青蛙跳跃）(Markov Chains) ⚠️ 本年 AMC 10 首次出现
  定理：马尔可夫链：状态转移概率矩阵
  技术：设  为第  步到达某状态的概率，建立线性递推
  关键：青蛙在数轴上跳跃，求经过若干步后到达某位置的概率